PROFMAT - Mestrado Profissional (Dissertações)
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Item Uma proposta para a aplicação do Método de Newton para o ensino médio : uma experiência com professores de matemática.(2024) Pereira, Renan de Oliveira; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wenderson Marques; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wenderson Marques; Vieira, Ronei Sandro; Leme, Leandro Correa PaesO presente trabalho apresenta uma proposta para o cálculo de raízes de equações não lineares, que normalmente não são vistas no ensino médio, utilizando o Método de Newton em conjunto com o software GeoGebra. O objetivo deste trabalho é criar uma atividade interativa abordando o conceito de derivada de uma maneira alternativa a usual, que se dá pelo uso de limites. Foram desenvolvidos dois roteiros para utilização do GeoGebra e a atividade foi aplicada com professores mestrandos em matemática, em dois dias distintos. Os dados foram obtidos através da percepção e interação dos participantes e com o preenchimento de dois formulários aplicados ao fim de cada encontro.Item Jogo Estratégia Financeira como ferramenta para introdução da educação financeira na educação básica : uma atividade com alunos do ensino médio.(2024) Rodrigues Neto, Inorazal Medeiros; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Almeida, Vitor Luiz de; Reis, Frederico da Silva; Martins, Eder MarinhoEste trabalho tem como finalidade apresentar o jogo Estratégia Financeira, desenvolvido pelo autor, como uma possível atividade prática que expressa uma simulação de investimentos financeiros de maneira simplificada, contemplando as premissas da educação financeira. O referencial teórico-bibliográfico foi constituído por diversas produções científicas e documentos oficiais relacionados à educação financeira, investimentos financeiros e à aplicação desses conceitos na educação básica. A metodologia de pesquisa foi, basicamente, qualitativa e contemplou a realização de uma pesquisa de campo com os alunos do Ensino Médio do Colégio Expoente, com o objetivo de compreender, na perspectiva dos estudantes, a relevância da educação financeira em suas vidas e suas opiniões sobre a inserção da educação financeira nas escolas. O desenvolvimento das atividades foi alicerçado na perspectiva da Educação Financeira Escolar, conforme abordada por Silva e Powell (2013), à luz das orientações da Estratégia Nacional de Educação Financeira (ENEF) (2011) e das diretrizes da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) (2018). Os dados examinados sugerem que o desenvolvimento dessas atividades provocou debates sobre conceitos e aspectos financeiros, promovendo, assim, a educação financeira dos estudantes. Reforçando a importância da Educação Financeira Escolar, espera-se que este trabalho e seus resultados possam servir de estímulo e auxílio para outros professores interessados em abordar temas de educação financeira e investimentos na educação básica.Item Explorando sudokus : um argumento heurístico para estimar o número de puzzles.(2024) Souza, Elvis Thaniel de; Oliveira, Edney Augusto Jesus de; Pinto, Thiago Morais; Oliveira, Edney Augusto Jesus de; Pinto, Thiago Morais; Ferreira, Fabiana Maria; Couto, Rodrigo Geraldo doSudoku é um termo abreviado da expressão japonesa “Suji wa dokushin ni kagiru”, cujo significado é “os números devem permanecer únicos”. Os precursores deste jogo são os quadrados latinos, quebra-cabeças, no qual o jogador deve preencher uma grade quadrada com um conjunto de elementos, de tal forma que cada símbolo apareça apenas uma vez em cada linha e coluna. Popular em todo o mundo, o número de Sudokus impresso em jornais e revistas de quebra-cabeças aumentou consideravelmente e o surgimento de variações com mais restrições na sua resolução tornou o jogo mais complexo. Este trabalho tem como objetivo investigar quantos quadrados de Sudoku existem fundamentados em pesquisa, em estudo do jogo, nas suas regras e nas principais técnicas utilizadas para solucionar tal quebra-cabeça. Para tal propósito, será realizada uma revisão dos conceitos de Análise Combinatória e Probabilidade que será utilizada para estimar o número de Sudokus, um estudo sobre Quadrados Latinos que mostrará o processo para sua construção e um resultado que permitirá determinar o número de quadrados latinos de ordem n. Nosso estudo mostrou que para se resolver um problema matemático complexo é necessário, previamente, resolver problemas menores e mais simples. Tal condição foi verificada quando, auxiliada pela teoria da Análise Combinatória e Probabilidade, aliada a um argumento heurístico e relaxada a condição de que as linhas e colunas do Sudoku são dependentes, apresentamos uma estimativa do número de Sudokus próximo do número real determinado pelos resultados anteriores. Assim, podemos concluir que determinar o número de quadrados latinos não é uma tarefa simples, mesmo tendo-se domínio do conhecimento de uma fórmula fechada e o auxílio de ferramentas computacionais. Este fato evidencia a dificuldade de se encontrar uma solução exata para muitos problemas, mesmo que se disponha de recursos tecnológicos avançados.Item O ensino de funções exponenciais no Novo Ensino Médio : aspectos legais, análise de livros didáticos e a visão de professores de matemática.(2023) Ferreira, Genaldo Gomes; Ferreira, Wenderson Marques; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wenderson Marques; Martins, Eder Marinho; Reis, Frederico da Silva; Lisboa, Narciso da HoraNa presente dissertação investigamos o ensino de funções exponenciais de acordo com as diretrizes educacionais oficiais decorrentes da Nova Base Curricular Comum Brasileira e da recente Reforma do Ensino Médio no Brasil. Além da análise de documentos oficiais, descreveremos os capítulos relacionados às funções exponenciais em três livros didáticos elaborados de acordo com a legislação vigente. Além disso, analisaremos, com base nas respostas dadas em um questionário, as impressões de professores que atuaram no primeiro ano do Ensino Médio em três escolas públicas de Itabirito- MG.Item Teorema de Pitágoras e construções geométricas com o GeoGebra.(2023) Rocha, Dêner Maia; Silva, Antônio Marcos da; Dias, Juliano Soares Amaral; Silva, Antônio Marcos da; Dias, Juliano Soares Amaral; Felippe, Alana Cavalcante; Oliveira, Monique Rafaella Anunciação deNeste trabalho, apresentamos um pouco da história de Pitágoras e, consequentemente, do famoso Teorema de Pitágoras e expomos uma breve consideração acerca da importância das construções geométricas e do uso das tecnologias no ensino. Apresentamos também cinco demonstrações distintas para o Teorema de Pitágoras, incluindo sua recíproca, uma generalização e uma extensão para o espaço. Ao final, são descritas três construções geométricas no software GeoGebra.Item Fórmula de Euller e aplicações.(2022) Souza, Sérgio Costa e; Figueiredo, Geraldo Cesar; Souza, Gil Fidelix de; Figueiredo, Geraldo Cesar; Souza, Gil Fidelix de; Martins, Eder Marinho; Muniz Junior, Justino; Almeida, Vitor Luiz deNeste trabalho estudaremos a Formula de Euler sob a luz da Teoria dos Grafos e apresentaremos algumas de suas aplicações. A teoria de grafos simplifica os cálculos e, aliada a conceitos básicos de aritmética nos permite obter resultados interessantes como consequência da formula de Euler, dentre eles estão: O Teorema de Sylvester-Gallai, a existência de linhas monocromáticas e o Teorema de Pick.Item A utilização do Geogebra como recurso didático para melhor compreensão de algumas propriedades geométricas : um estudo com docentes em Matemática no período de pandemia.(2022) Reis, Graziele Gabriele Valadares; Dias, Juliano Soares Amaral; Dias, Juliano Soares Amaral; Catharino, Antonio Marcos da Silva; Torisu, Edmilson Minoru; Silva, Antônio Marcos Ferreira daEsse estudo tem por objetivo apresentar propostas de atividades para professores do ensino básico, estudando Retas Paralelas Cortadas por Transversais, Polígonos, apresentação e demonstração do Teorema de Pitot, Teorema de Pitolomeu, casos de Semelhança de Triângulos e o Teorema de Tales. As cinco primeiras atividades foram apresentadas a um grupo de professores de escolas públicas que lecionam matemática para a rede de Ensino Estadual de Educação de MG, na cidade de Nova Lima e também para a rede de Ensino Municipal da cidade de Belo Horizonte. Já as duas últimas foram apresentadas aos professores estudantes do curso de pós-graduação PROFMAT – Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional do Campus UFOP. As atividades geram uma visão mais ampla e rigorosa da geometria, utilizando o software de geometria dinâmica GeoGebra, evidenciando a importância de se utilizar as TDIC no ensino da Matemática.Item Trajetórias periódicas em bilhares poligonais.(2022) Carvalho, Mônica Alves de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Souza, Gil Fidelix de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Souza, Gil Fidelix de; Dias, Juliano Soares Amaral; Ottoni, José Eloy; Pereira, Rafael da CostaEsse trabalho apresenta um de estudo para a existência de trajetórias periódicas em bilhares poligonais convexos. Nos quadriláteros estudados utilizaremos como recurso o desdobramento do plano para simplificar as trajetórias. Em triângulos encontraremos trajetórias periódicas através da solução do problema de Fagnano. Iremos estender tal resultado para polígonos convexos de n lados.Item Torre de potência infinita.(2022) Santos, Janio Lucio Talini dos; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Souza, Gil Fidelix de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Souza, Gil Fidelix de; Almeida, Vitor Luiz de; Rocha, Alexandre Alvarenga; Ferreira, Wenderson MarquesNesse trabalho e apresentada a função Torre de potência infinita, cuja altura e formada por uma sequência infinita de exponenciais. O objetivo desse trabalho é discutir o problema da convergência/divergência da função f(x). Ao final, é feito um estudo de uma possível origem da função torre de potência e como as pesquisas dos matemáticos Lambert, Euler e Lagrange foram essenciais para a construção dessa teoria, que levou à expansão em série da função LambertW, tão importante para o avanço da Matemática quanto de outras ciências.Item Números normais : uma aplicação da Lei dos Grandes Números.(2021) Lemos, Luciano Carlos de; Ribas, Sávio; Ribas, Sávio; Couto, Rodrigo Geraldo do; Gurgel, Luana Amaral; Avelar, Danilo VilelaNeste trabalho, estudamos os números normais e pseudoaleatórios como uma aplicação da Lei dos Grandes Números. Para isso, primeiramente construímos toda a base teórica de probabilidade com o objetivo de fundamentar a Lei dos Grandes Números, um teorema da teoria da probabilidade que estabelece, sob certas hipóteses, que a média aritmética dos resultados observados através da realização da mesma experiência muitas vezes aproxima-se da esperança da variável aleatória. Em seguida, vemos que um problema fundamental na Matemática, na Estatística e na Computação é a geração de números aleatórios, que possuem diversas aplicações práticas, e ainda, que os melhores candidatos a números aleatórios são os números absolutamente normais, mas ainda não os conhecemos. Sendo assim, devemos nos contentar com números pseudoaleatórios, que são números “aparentemente” aleatórios, mas que são gerados de uma forma determinística. Na sequência apresentamos o problema de Monty-Hall, também conhecido popularmente como problema dos bodes, que foi proposto pela primeira vez em um programa de auditório nos EUA. Através de simulações e usando a Lei dos Grandes Números conseguimos conjecturar um resultado correto para esse problema. Atividades didáticas envolvendo tais resultados também foram abordadas e sua aplicação em sala de aula, com estudantes de Ensino Médio de uma escola de Manhumirim-MG e também de graduação em Matemática da UFOP, são descritas. Os dados foram coletados por meio de observações durante a aplicação da atividade e através das respostas dadas aos questionários. Os resultados mostram que os estudantes podem, em muitos casos, ter uma visão intuitiva do problema que os conduza ao erro na escolha da melhor estratégia de resolução. Daí percebemos que atividades como essas podem contribuir significativamente para o processo de aprendizagem dos estudantes.Item O Crivo de Brun para primos gêmeos.(2021) Costa, Giovanne Drumond; Ribas, Sávio; Ribas, Sávio; Moriya, Bhavinkumar Kishor Sinh; Dias, Juliano Soares AmaralUm número primo p é dito primo gêmeo se p+2 também é primo. Conjectura-se que existem infinitos primos gêmeos. O objetivo dessa dissertação é mostrar que a soma dos inversos dos primos gêmeos converge, enquanto a soma dos inversos de todos os primos diverge (também vamos provar isso usando a função zeta de Riemann). Tal fato pode implicar duas coisas: ou existem finitos primos gêmeos, ou os primos gêmeos são infinitos porém muito escassos na reta real. A técnica utilizada para demonstrar esse resultado é o crivo de Brun, que permite obter uma cota superior para o número de primos gêmeos até x. Para obter tais cotas, é necessário apresentar diversos resultados anteriores, como o princípio da inclusãoexclusão, as funções multiplicativas (em particular, a função de Möbius), as duas primeiras fórmulas de Mertens e o Teorema de Chebyshev. Vamos apresentar também uma caracterização dos primos gêmeos devida a Clement. A cota superior obtida implica diretamente o principal resultado dessa dissertação: a soma dos inversos dos primos gêmeos converge.Item Sobre números escritos como soma de dois quadrados e uma atividade de ensino que relaciona ternos pitagóricos e números complexos.(2021) Pereira, Elaine Veloso Fernandes; Ferreira, Wenderson Marques; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wenderson Marques; Martins, Eder Marinho; Cota, Ana Paula da Silva; Castro, Fábio Corrêa de; Coura, Flávia Cristina FigueiredoNeste trabalho, estudamos os números que podem ser escritos como soma dos quadrados de dois números, exibindo as condições para que possam ser escritos de tal forma. Em seguida, observamos que se tivermos a 2 = b 2 + c 2 , com b e c naturais não nulos, além de termos uma representação não trivial de a 2 como soma de dois quadrados, também podemos associar a, b e c às medidas dos lados de um triângulo retângulo, obtendo um terno pitagórico. Posteriormente, passamos a abordar a relação entres números complexos e tais ternos, mostrando como utilizar tais números para provar que os ternos pitagóricos são infinitos. Atividades didáticas envolvendo tais resultados também foram abordadas e sua realização em sala de aula, com alunos de Ensino Médio de uma escola pública de Coronel Fabriciano-MG e também de graduação em matemática da UFOP, são descritas. Os dados foram coletados por meio de observações durante a realização da atividade e através das respostas dadas aos questionários. Os resultados mostram que os alunos, tanto do Ensino Médio quanto da graduação em Matemática, não conheciam a relação abordada entre números complexos e ternos pitagóricos, e que atividades investigativas como essa, usando o aplicativo GeoGebra, são bem avaliadas nos dois níveis de ensino, podendo contribuir significativamente para o processo de aprendizagem.Item A equação de Pitágoras módulo primo.(2021) Silva, Denise Ramos da; Ribas, Sávio; Ribas, Sávio; Reis, Lucas da Silva; Oliveira, Edney Augusto Jesus deAs triplas de números inteiros positivos (x, y, z) que satisfazem a equação de Pitágoras x 2 + y 2 = z 2 são chamadas de triplas pitagóricas. Por outro lado, para n ≥ 3, a equação x n + y n = z n é conhecida como equação de Fermat. Nessa dissertação, vamos descrever todas as triplas pitagóricas e mostrar que a equação de Fermat com n = 4 não tem solução. Contudo, o objetivo principal desse trabalho é calcular o número de soluções da equação de Pitágoras módulo um primo p, isto é, x 2 + y 2 ≡ z 2 (mod p). Vamos provar que, embora tomando caminhos distintos para os casos p = 2, p ≡ 1 (mod 4) e p ≡ 3 (mod 4), o número de soluções é sempre p 2 . O principal argumento usado é o símbolo de Legendre. Para isso, vamos obter diversas reduções que simplificam o problema. Vamos também discutir alguns problemas relacionados e mostrar como nossa solução pode ser generalizada.Item Centroides, Teorema de Pappus-Guldin e o cálculo de volume de sólidos de revolução : uma proposta para futuros professores do Ensino Médio(2020) Cardoso, Imaculada Coelho da Silva; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wenderson Marques; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wenderson Marques; Fonseca, Alexander Fernandes da; Ferreira, Geraldo César GonçalvesO trabalho apresenta uma proposta para calcular o volume de quaisquer sólidos de revolução de uma maneira compreensível para os alunos do Ensino Médio. A proposta visa desenvolver uma atividade baseada no Teorema de Pappus-Guldin e foi trabalhada com os graduandos de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto. O Teorema de Pappus-Guldin é apresentado abordando seus aspectos históricos e algumas aplicações para cálculo de volume. Para tal, foi necessário realizar um estudo sobre centroide de várias figuras planas, usando alguns conceitos presentes nos livros de Cálculo Diferencial e Integral. O software GeoGebra foi utilizado constituindo-se em uma ferramenta fundamental para o desenvolvimento da proposta didática, ilustrando a importância de se utilizar tecnologias digitais no ensino da Matemática.Item Isometrias na reta e no plano.(2020) Costa, Deyvison Eduardo Valadares da; Dias, Juliano Soares Amaral; Oliveira, Monique Rafaella Anunciação de; Dias, Juliano Soares Amaral; Oliveira, Monique Rafaella Anunciação de; Almeida, Vitor Luiz de; Ferreira, Geraldo César GonçalvesO objetivo do nosso trabalho é fazer um estudo sobre as isometrias na reta e no plano. Os tipos de isometrias que estudamos na reta foram a translação e a reflexão. Já no plano, estudamos a translação, a rotação, a reflexão e a reflexão com deslizamento. Apresentamos as definições, os principais teoremas e algumas aplicações referentes a cada isometria na reta e no plano. Além disso, apresentamos a classificação das isometrias, sendo próprias e impróprias. Apresentamos também dois teoremas importantes, sendo um aplicado na reta e o outro aplicado no plano. O primeiro teorema garante a existência de apenas dois tipos de isometrias na reta além da função identidade, e o segundo teorema garante a existência de apenas quatro tipos de isometrias no plano além da função identidade. Para finalizar, sugerimos uma sequência didática, com o uso do software matemático GeoGebra, para consolidação do conteúdo estudado em sala de aula sobre isometrias na reta e no planoItem Aplicações dos números complexos à geometria analítica plana.(2019) Cruz, Breno Arcanjo Fernandes da; Souza, Gil Fidelix de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Souza, Gil Fidelix de; Ferreira, Geraldo César Gonçalves; Hoyos, Mariana Garabini Cornelissen; Couto, Rodrigo Geraldo do; Silva, Wanderson Costa eA proposta deste trabalho e fazer uso da boa estrutura do conjunto dos números complexos, essencialmente de sua geometria, para promover o estudo de objetos e a obtenção de resultados da Geometria Analítica Plana. A boa estrutura do conjunto dos números complexos permite o estudo de resultados clássicos, por exemplo os Teoremas de Ceva, Menelaus e Desargues. O primeiro Teorema estabelece condições necessárias e suficientes para que três cevianas sejam concorrentes, o segundo resultado estabelece condições para a colinearidade de um conjunto de pontos ou para a concorrência de um conjunto de segmentos e o terceiro resultado refere-se a triângulos projetivos e pode ser visto como uma consequência dos dois primeiros resultados.Item Lápis, papel, GeoGebra e a Fórmula de Bháskara : uma experiência com alunos do nono ano.(2019) Conceição, Thaynara Menezes Gandra; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wenderson Marques; Martins, Eder Marinho; Ferreira, Wenderson Marques; Valério, Viviane Pardini; Souza, Gil Fidelix de; Torisu, Edmilson MinoruAs tecnologias digitais estão presentes no cotidiano dos alunos e isso muda a forma como eles se relacionam e aprendem. Por isso, faz-se necessária uma mudança nas práticas pedagógicas, sobretudo nas aulas de matemática. Esse estudo teve por objetivo apresentar propostas de atividades investigativas, envolvendo o conteúdo de funções quadráticas e demonstrar a fórmula de Bháskara, utilizando o software GeoGebra como recurso didático. Uma das atividades sugeridas foi aplicada em uma escola estadual da cidade de Ouro Preto - MG e em uma escola privada da cidade de Belo Horizonte - MG. Os dados foram coletados por meio de observações realizadas durante a aplicação e respostas dadas a um questionário. Os resultados mostram que os discentes compreenderam melhor a fórmula de Bháskara e o gráfico de uma função quadrática, e que a atividade investigativa pode ajudar a motivar o aluno e a aprimorar sua capacidade de argumentaçãoItem Aplicações de grafos no ensino médio.(2019) Ribas, Giovani Batista; Oliveira, Edney Augusto Jesus de; Oliveira, Edney Augusto Jesus de; Silva, Gheyza Ferreira da; Pinto, Thiago MoraisEste trabalho tem como foco central a utilização de grafos no ensino-aprendizado, mais especificamente no ensino médio. Para tal, é feita uma investigação sucinta sobre a Teoria de Grafos contendo um breve apanhado histórico seguido de um aporte teórico introdutório. Além disso, é apresentada uma correlação entre grafos e tópicos de análise combinatória. Por fim, são sugeridas três atividades práticas para exemplificar o seu uso, sendo a primeira atividade um plano de estudos de análise combinatória utilizando os grafos como facilitadores visuais. As outras duas atividades, de aspecto mais prático, apresentam uma forma mais efetiva de atrair a participação dos alunos para o estudo desta teoria.Item Coberturas de tabuleiros : o problema do diamante de Aztec.(2019) Praxedes, Washington Mariano; Couto, Rodrigo Geraldo do; Couto, Rodrigo Geraldo do; Almeida, Alexandre Celestino Leite de; Alves, Rogério GomesO objetivo deste trabalho é tratar de problemas gerais de coberturas de tabuleiros por poliminós, tendo como foco a análise da cobertura de uma região plana específica, denominada diamante de Aztec. Tal análise irá propor o estabelecimento da quantidade de coberturas distintas por dominós possíveis de serem realizadas nesta região. Além das ideias relacionadas aos problemas de cobertura de tabuleiros, o resultado é obtido a partir da utilização de estratégias bastante elegantes e engenhosas, tendo os conceitos da Teoria dos Grafos como ferramentas essenciais para modelar e encontrar uma relação de recorrência para resolver o problema. Nesse contexto, as teorias apresentadas tendem reforçar a justificativa de que o tema de Coberturas de Tabuleiros e demais regiões planas é um campo altamente rico e fértil para o desenvolvimento de projetos de oficinas de estudos de conteúdos da Matemática.Item A integral de Rieman generalizada.(2019) Santos, Wagner Luiz Moreira dos; Xavier, Sebastião Martins; Santos, Thiago Fontes; Xavier, Sebastião Martins; Santos, Thiago Fontes; Moreira, Jussara de Matos; Couto, Rodrigo Geraldo doNeste trabalho apresentaremos uma breve introdução sobre a história da evolução no conceito de integral e resultados importantes sobre a Teoria de Integração. Introduziremos a definição formal do conceito de Integral, segundo Riemann e suas propriedades, além da definição de funções Riemann Integráveis. Posteriormente, mostraremos a definição e propriedades da integral de Darboux, extendendo, essa ideia ao critério de integrabilidade de Lebesgue e finalizando com o conceito de de integral generalizada de Riemann. Neste trabalho apresentaremos integral de Riemann generalizada que nos permitirá, de forma alternativa a usual, abordar o conceito de integral de Lebesgue. Nesta apresentação não necessitamos da construção da teoria de medida, ou seja, trata-se de uma abordagem diferente daquela que se estuda nos cursos de cálculo e análise.