A equação de Pitágoras módulo primo.

Abstract

As triplas de números inteiros positivos (x, y, z) que satisfazem a equação de Pitágoras x 2 + y 2 = z 2 são chamadas de triplas pitagóricas. Por outro lado, para n ≥ 3, a equação x n + y n = z n é conhecida como equação de Fermat. Nessa dissertação, vamos descrever todas as triplas pitagóricas e mostrar que a equação de Fermat com n = 4 não tem solução. Contudo, o objetivo principal desse trabalho é calcular o número de soluções da equação de Pitágoras módulo um primo p, isto é, x 2 + y 2 ≡ z 2 (mod p). Vamos provar que, embora tomando caminhos distintos para os casos p = 2, p ≡ 1 (mod 4) e p ≡ 3 (mod 4), o número de soluções é sempre p 2 . O principal argumento usado é o símbolo de Legendre. Para isso, vamos obter diversas reduções que simplificam o problema. Vamos também discutir alguns problemas relacionados e mostrar como nossa solução pode ser generalizada.